Miejsce na skrytkę dość zwykłe. Ot gruntowa droga pod lasem. Można by silić się na ciekawoski o pobliskim Bornym Sulinowie i stacjonującym tam do 1992 roku kontyngencie radzieckim. Albo o znajdującej się nieopodal górze Śmiadowskiej (168m.n.p.m) i zbudowanym tam systemie bunkrów…
Ale Ja proponuję coś zupełnie innego: Różne rodzaje nieskończoności.
Zdaję sobie sprawę, że dla kogoś nie zaznajomionego z bardziej abstrakcyjnymi gałęziami matematyki może to brzmieć jak poezja, ale naprawdę - są różne rodzaje nieskończoności.
Jak można je porównywać? Wobec nieskończoności jesteśmy jak dzieci które nie umieją jeszcze liczyć a postawiono je przed problemem wymagającym rachunków. Co mamy zrobić?
Kombinować!
Jak sprytne dziecko które ma wybrać sobie jedną z dwóch torebek cukierków. Powiedzmy, że w obu torebkach jest dużo cukierków, a dziecko nie umie jeszcze liczyć do tak dużych liczb. Co może zrobić? Może wybierać cukierki parami: jeden z pierwszej torebki i jeden z drugiej. W ten sposób, bez wykonywania jakichkolwiek rachunków da się określić w której torebce było mniej.
I tak samo matematycy porównują nieskończoności.
Powiedzmy, że chcemy sprawdzić czego jest więcej:
- Wszystkich liczb naturalnych: 1, 2, 3, 4, 5, 6, … i tak w nieskończoność, czy:
- Parzystych liczb naturalnych: 2, 4, 6, 8, 10, 12, i tak w nieskończoność.
W pierwszych odruchu może się wydać, że parzystych musi być mniej (nawet nasza, pociecznie bezradna wobec nieskończoności, intuicja podpowie nam: “o połowę!”)
No ale sprawdźmy jak dziecko. Wyciągajmy po jednej parze:
1-2
2-4
3-6
4-8
5-10
6-12
…
i tak w nieskończoność!
Każda liczba ze zbioru A ma swoją unikalną parę w zbiorze B i na odwrót. Zatem jest ich tyle samo! co do jednej!
Niektórym może się to wydawać to skandalem. Będą szukać błędu w rozumowaniu. Ale tu nie ma żadnego błędu. Każdą liczbę parzystą da się sparować z dokładnie jedną liczbą naturalną i na odwrót. Nigdy nie znajdziemy w żadnym z tych zbiorów liczby bez pary w drugim. W żadnej z tych torebek nie zostanie nadmiarowy cukierek!
Musimy się pogodzić. Liczb naturalnych jest tyle samo co parzystych. Ba, tyle samo co liczb podzielnych przez 10. Albo przez 1000.
Jak to objąć umysłem?
Może tak: W powyższym rozumowaniu traktujemy liczby jako symbole. Ich numeryczne znaczenie nie ma żadnego znaczenia. Równie dobrze mogły to by być słoneczka i chmurki i inne znaczki które łączymy w pary - jak dziecko, które nie umie liczyć.
Okazuje się, że taka nieskończoność - nieskończoność liczb naturalnych - pojawia się w matematyce bardzo często. Ma nawet swoją nazwę: alef zero:
Co więcej, dokładnie tyle samo ile liczb naturalnych (albo parzystych) jest ułamków zwykłych - alef zero.
Ale to już na kiedy indziej.
Może przy okazji innej skrytki.
Aha, spisz liczbę X z pojemnika - przyda się do kolejnej zagadki.